Mit diesem zweiten Band betreten wir die faszinierende Welt der komplexen Analysis. Bereits bei den ersten Sätzen wird die Eleganz und Weite der Ergebnisse deutlich. Ausgangspunkt ist die einfache Idee, eine Funktion, die ursprünglich für reelle Werte des Arguments definiert ist, auf eine Funktion zu erweitern, die bei komplexen Argumenten definiert ist. Von dort aus geht es zu den wichtigsten Eigenschaften holomorpher Funktionen, deren Beweise im Allgemeinen kurz und sehr aufschlussreich sind: die Cauchy-Sätze, Residuen, analytische Fortsetzung, der Argumentprinzip.
Mit diesem Hintergrund ist der Leser bereit, eine Vielzahl zusätzlicher Themen zu erlernen, die das Fach mit anderen Bereichen der Mathematik verbinden: die Fourier-Transformation, behandelt durch Kontur-Integration, die Zetafunktion und den Primzahlen-Satz sowie eine Einführung in elliptische Funktionen, die in ihrer Anwendung auf Kombinatorik und Zahlentheorie gipfeln. Das ausführliche Entwickeln eines Fachgebiets mit vielen Verzweigungen, während eine sorgfältige Balance zwischen konzeptuellen Einsichten und den technischen Grundlagen der rigorosen Analysis gewahrt bleibt, wird die komplexe Analysis bei Studierenden der Mathematik, Physik, Ingenieurwissenschaften und anderer Naturwissenschaften willkommen sein.
Die Princeton Lectures in Analysis stellen eine kontinuierliche Bemühung dar, die Kerngebiete der mathematischen Analysis einzuführen und gleichzeitig die organische Verbindung zwischen ihnen zu veranschaulichen. Zahlreiche Beispiele und Anwendungen in allen vier geplanten Bänden, von denen die komplexe Analysis der zweite ist, heben die weitreichenden Folgen bestimmter Ideen in der Analysis für andere mathematische Bereiche und eine Vielzahl von Wissenschaften hervor. Stein und Shakarchi bewegen sich von einer Einführung zu Fourier-Reihen und -Integralen hin zu vertieften Betrachtungen der komplexen Analysis; Maß- und Integrationstheorie sowie Hilberträume; und schließlich zu weiteren Themen wie Funktionalanalysis, Distributionen und Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie.
